Гавриил Никифорович Елецких родился 8 апреля 1919 гола в деревне Петровские круги ныне Елецкого района Липецкой области. Закончил педагогическое училище. Работал учителем физики и математики в школе.
В 1939 году Г.Н. Елецких был призван на службу в РККА. В следующем году он окончил Харьковское военное авиационное училище. На фронтах Великой Отечественной войны- с первых дней. Принимал участие в боях на Юго-Западном, Сталинградском, Южном, 4-м и 1-м Украинских фронтах. Летал на различных типах самолетов (СБ, Пе-2, Пе-3). Участвовал в боях под Харьковом, был подбит сумел сесть и покинуть самолет до взрыва.
К началу 1944года капитан Гавриил Елецких был штурманом эскадрильи 8-го отдельного разведывательного авиаполка 8-й воздушной армии 4-го Украинского фронта. На тот момент он совершил около167 боевых вылетов на разведку и бомбардировку скопления войск противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 июля 1944 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом мужество и героизм» капитан Гавриил Никифорович Елецких был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
За все время своего участия в Великой Отечественной войне Г. Н. Елецких совершил 212 боевых вылетов.
В 1949 году он окончил Военно-воздушную академию с золотой медалью, после чего остался в ней преподавать на кафедре разведки. Защитил кандидатскую диссертацию и стал кандидатом военных наук. В звании полковника Г.Н. Елецких был уволен в запас в 1979 году. Проживал в посёлке Монино Московской области. Там же и похоронен на Гарнизонном кладбище (скончался 30 октября 2003 года).
Кроме ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» Гавриил Никифорович Елецких награждён двумя орденами Красного Знамени, орденами Отечественной войны I и II степени, двумя орденами Красной Звезды, орденом «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» III степени, рядом медалей , в том числе иностранных .
На доме № 7 по улице Маслова в посёлке Монино Московской области, где проживал Герой Советского Союза Елецких Гавриил Никифорович, установлена мемориальная доска. На площади Победы города Ельца установлен памятник с барельефом Гавриила Никифоровича Елецких.
